Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} + y - 4 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} + y - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3} + y - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' + 0$

Etapa 2.5

Some $3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y'$ e $0$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$