Cálculo Exemplos

$x^{3} y^{3} + x = 9$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} + x) = \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1$

Etapa 3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 y^{3} x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{3} y^{2} y' + 1 = - 3 y^{3} x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ por $3 x^{3} y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ por $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{3} x^{2}}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ e $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $y^{2}$ de $- y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Fatore $x^{2}$ de $- y x^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$