Cálculo Exemplos

$x^{2} - 2 x y + y^{3} = 10$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x y + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 2 (x y') - 2 y + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x - 2 x y' - 2 y + 3 y^{2} y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x - 2 y$

Etapa 3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x - 2 y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' - 2 y = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$- 2 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- 2 x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 3 y^{2} y' = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$ por $- 2 x + 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 2 x + 3 y^{2}) = - 2 x + 2 y$ por $- 2 x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 x + 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 x + 3 y^{2})}{- 2 x + 3 y^{2}} = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 x + 3 y^{2}} + \frac{2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x + 2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2 x + 2 y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x) + 2 y}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (y)$ .

$y' = \frac{2 (- x + y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{2 (- (x) + y)}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $y$ .

$y' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{2 (- (x - y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 2 x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x) + 3 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x) - (- 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- (2 x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.10

Reescreva $- (2 x - 3 y^{2})$ como $- 1 (2 x - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 1 (2 x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.11

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{- 1 (2 x - 3 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.12

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 (x - y)}{2 x - 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x - y)}{2 x - 3 y^{2}}$