Cálculo Exemplos

$x^{3} + x y - 2 x = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x y - 2 x) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x y - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 x^{2} + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + x y' + y - 2 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x y' + y - 2 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' - 2 = - 3 x^{2} - y$

Etapa 5.1.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x y' = - 3 x^{2} - y + 2$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $x y' = - 3 x^{2} - y + 2$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $x y' = - 3 x^{2} - y + 2$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 3 x}{1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.5

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$y' = - 3 x + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - 3 x - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$