Cálculo Exemplos

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (π x) + \cos (π y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.4.3

Multiplique $π$ por $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π y$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.5.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Etapa 2.6

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π y$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ por $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ por $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ por $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.2.2

Reordene os fatores em $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \sin (π x)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Etapa 5.1.3.1.2.2

Fatore $2$ de $2 \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Etapa 5.1.3.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Etapa 5.1.3.1.2.4

Cancele o fator comum.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Etapa 5.1.3.1.2.5

Reescreva a expressão.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Etapa 5.1.3.2

Divida $0$ por $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $π \cos (π x)$ dos dois lados da equação.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ por $- π \sin (π y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ por $- π \sin (π y)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $\sin (π y)$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ como um produto.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.4

Escreva $\cos (π x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.5.1

Divida $\cos (π x)$ por $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Etapa 5.3.3.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (π y)}$ em $\csc (π y)$ .

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$