Cálculo Exemplos

${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3} = 79$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (79)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x - y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x - y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 6 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(4 x - y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$

Etapa 3

Como $79$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $79$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$ .

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $16 {(4 x - y)}^{3}$ dos dois lados da equação.

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.3

Fatore $2 y'$ de $- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 y'$ de $- 4 y' {(4 x - y)}^{3}$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2})$ .

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.4

Use o teorema binomial.

$2 y' (- 2 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$2 y' (- 2 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(4 x)}^{2} y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.5

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.7

Multiplique $16$ por $- 3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.8

Multiplique $4$ por $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.9

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.11

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.12

Multiplique $12$ por $1$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.13

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.5.14

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' (- 2 (64 x^{3}) - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Multiplique $64$ por $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $- 48$ por $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.7.3

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.7.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.8.1

Remova os parênteses.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.8.2

Remova os parênteses.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

Etapa 5.9

Divida cada termo em $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ por $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.9.1

Divida cada termo em $2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ por $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ .

$\frac{2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.9.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.2.2

Cancele o fator comum de $- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.9.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.3.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

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Etapa 5.9.3.1.1

Fatore $2$ de $- 16 {(4 x - y)}^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.9.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.3

Fatore $- 1$ de $- 128 x^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.4

Fatore $- 1$ de $96 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.5

Fatore $- 1$ de $- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.6

Fatore $- 1$ de $- 24 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.7

Fatore $- 1$ de $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.8

Fatore $- 1$ de $2 y^{3}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.9

Fatore $- 1$ de $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.10

Fatore $- 1$ de $3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3.11

Fatore $- 1$ de $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.9.3.12.1

Reescreva $- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ como $- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ .

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

Etapa 5.9.3.12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.12.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Etapa 5.9.3.12.4

Multiplique $\frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$ por $1$ .

$y' = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$