Cálculo Exemplos

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{y}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.7

Subtraia $y'$ de $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.10

Combine $3$ e $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $\frac{3}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Combine $\frac{3}{x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.4.3.1.2

Combine.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.4.3.1.4

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$