Cálculo Exemplos

$e^{x^{5} + y} = 9 x + 3 y + 10$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{5} + y}) = \frac{d}{d x} (9 x + 3 y + 10)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{5} + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} + y$ .

$e^{x^{5} + y} \frac{d}{d x} [x^{5} + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{5} + y} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x + 3 y + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 + 3 y' + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 3.4

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 + 3 y' + 0$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Some $9 + 3 y'$ e $0$ .

$9 + 3 y'$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$3 y' + 9$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y')$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4} + y') = 3 y' + 9$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x^{5} + y} (5 x^{4}) + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Etapa 5.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y' = 3 y' + 9$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $5 e^{x^{5} + y} x^{4} + e^{x^{5} + y} y'$ .

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} = 3 y' + 9$

Etapa 5.2

Subtraia $3 y'$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} e^{x^{5} + y} + y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9$

Etapa 5.3

Subtraia $5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ dos dois lados da equação.

$y' e^{x^{5} + y} - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' e^{x^{5} + y} - 3 y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' e^{x^{5} + y}$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) - 3 y' = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3 = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (e^{x^{5} + y}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ por $e^{x^{5} + y} - 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (e^{x^{5} + y} - 3) = 9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}$ por $e^{x^{5} + y} - 3$ .

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{5} + y} - 3$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (e^{x^{5} + y} - 3)}{e^{x^{5} + y} - 3} = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9}{e^{x^{5} + y} - 3} + \frac{- 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 - 5 x^{4} e^{x^{5} + y}}{e^{x^{5} + y} - 3}$