Cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 x y + 4 y = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + 4 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x y + 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y'$

Etapa 2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 4 y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y'$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$4 x y' + 4 y + 4 y' = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$4 x y' + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Etapa 5.2

Fatore $4 y'$ de $4 x y' + 4 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 y'$ de $4 x y'$ .

$4 y' x + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 y'$ de $4 y'$ .

$4 y' x + 4 y' \cdot 1 = - 2 x - 4 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 y'$ de $4 y' x + 4 y' \cdot 1$ .

$4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ por $4 (x + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ por $4 (x + 1)$ .

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{y}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{x + 1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(x + 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x - y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.9.1

Reescreva $- (x + 2 y)$ como $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Etapa 5.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$