Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (3 y) = x + y - 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin^{2} (3 y)) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (3 y)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \sin (3 y) \cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$

Etapa 2.5

Reordene os fatores de $6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$ .

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + y' + 0$

Etapa 3.5

Some $1 + y'$ e $0$ .

$1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y' = 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$ .

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) = 1 + y'$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y' = 1$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y)$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) - y' = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1 = 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ por $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ por $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$