Cálculo Exemplos

$e^{x} y = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} y' + y e^{x}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $e^{x} y' + y e^{x}$ .

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$y' e^{x} = - y e^{x}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' e^{x} = - y e^{x}$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' e^{x} = - y e^{x}$ por $e^{x}$ .

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Divida $- y$ por $1$ .

$y' = - y$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y$