Cálculo Exemplos

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Etapa 5

Resolva $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.1

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{3}}$ que esteja presente em cada termo.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Etapa 5.2

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Etapa 5.3

Resolva $u$ .

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Etapa 5.3.1

Reordene os fatores em $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Etapa 5.3.2

Subtraia $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.4

Divida cada termo em $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Etapa 5.3.4.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.3.1

Fatore $4$ de $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Etapa 5.3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Etapa 5.3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Etapa 5.3.4.3.2.4

Divida $- y' y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4

Substitua $y'$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$