Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 8 x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{2} + 8 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 8 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 8 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$x (x + 8) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 8$

Etapa 7

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0, - 8$

$x = 4$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, - 8, 4$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 8 x}{x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 4 = 0$

Etapa 10.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 8 (- 10)}{(- 10) - 4} > 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{428571}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4)}{(- 4) - 4} > 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2} + 8 (2)}{(2) - 4} > 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 10$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} + 8 (6)}{(6) - 4} > 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $42$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 < x < 0$ ou $x > 4$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 8, 0) \cup (4, \infty)$

Etapa 15