Cálculo Exemplos

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Etapa 1

Fatore $\cos^{2} (x)$ .

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Etapa 4

Expanda $(1 - u^{2}) u^{3}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Etapa 4.2

Multiplique $u^{3}$ por $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Etapa 4.3

Fatore o negativo.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Etapa 4.5

Some $2$ e $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Etapa 4.6

Reordene $u^{3}$ e $- u^{5}$ .

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$