Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7 - x e^{x}$ e $g (x) = x + e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [7 - x e^{x}] - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (7 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (7 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (7 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (7 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (7 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Expanda $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.2.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.7

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.2.7.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.2.7.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 7 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.3.2

Multiplique $- (- x e^{x})$ .

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Etapa 7.3.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 7 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 7 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4

Expanda $(- 7 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 \cdot 1 - 7 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 \cdot 1 - 7 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.5.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.5.3.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.1.5.3.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.2

Combine os termos opostos em $- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ .

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Etapa 7.3.2.1

Some $- x e^{x}$ e $x e^{x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.2.2

Some $- x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.2.3

Reorganize os fatores nos termos $- e^{2 x} x$ e $x e^{2 x}$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.2.4

Some $- e^{2 x} x$ e $e^{2 x} x$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3.2.5

Some $- x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 7 - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 7 - e^{2 x} - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 7 - e^{2 x} - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.6

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (7) - e^{2 x} - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x^{2}) - 1 (7)$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 7) - e^{2 x} - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.8

Fatore $- 1$ de $- e^{2 x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 7) - (e^{2 x}) - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.9

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x^{2} + 7) - (e^{2 x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x}) - 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- 7 e^{x}$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x}) - (7 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x}) - (7 e^{x})$ .

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.12

Reescreva $- (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x})$ como $- 1 (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.14

Reordene os fatores em $- \frac{e^{x} x^{2} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{x} + 7 + e^{2 x} + 7 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$