Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{3 x + 2}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 2$ .

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $(x - 1) e^{3 x + 2}$ .

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

Etapa 3.10.2

Multiplique $e^{3 x + 2}$ por $1$ .

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.4.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

Etapa 4.5

Some $- 3 e^{3 x + 2}$ e $e^{3 x + 2}$ .

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

Etapa 4.6

Reordene os fatores em $3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ .

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$