Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y}{y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $(y - 1) (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - x = \frac{y}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - x = y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - x - y = 0$

Etapa 3.4.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Etapa 5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.2.4.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 5.2.6.1

Fatore $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{(\frac{x}{x - 1}) - 1}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva $\frac{x - (x - 1)}{x - 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.4.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{x - 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (1 (x - 1))$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $x - 1$ de $1 (x - 1)$ .

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot 1)$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x}{x - 1}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 1}$