Cálculo Exemplos

$y = 3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$3 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$3 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$3 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 3.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 3.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 3.12

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 3.13

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 3.14

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 3.14.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 3.14.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 3.14.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 3.15

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 3.16

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$3 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$3 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$