Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7.3

Mova ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 17

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.2

Multiplique $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.5

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 18.5.1

Multiplique $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 18.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{4 x^{\frac{1}{2}} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$