Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{1 + \ln (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $1 + \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + \ln (x) - x \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $x$ .

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + \ln (x) - \frac{x}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + \ln (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \ln (x) - 1}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$