Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 3 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Expanda $(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $- 3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $8 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 6 x + 3$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.5.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$