Cálculo Exemplos

$f (x) = - 7 {(3 x^{4} + 2)}^{- 4}$

Etapa 1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 {(3 x^{4} + 2)}^{- 4}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 2)}^{- 4}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 2)}^{- 4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 3 x^{4} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{4} + 2$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 7 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{4} + 2$ .

$- 7 (- 4 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$28 ({(3 x^{4} + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $3$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3} + 0)$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$28 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} (12 x^{3})$

Etapa 3.7.2

Multiplique $12$ por $28$ .

$336 {(3 x^{4} + 2)}^{- 5} x^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$336 \frac{1}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}} x^{3}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $336$ e $\frac{1}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$ .

$\frac{336}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}} x^{3}$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{336}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{336 x^{3}}{{(3 x^{4} + 2)}^{5}}$