Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} (5 - 3 x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (- 3 (2 x)) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x^{3} (- 6 x) + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot - 6 + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + (5 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 6 x^{4} + (5 - 3 x^{2}) (3 x^{2})$

Etapa 6

Mova $3$ para a esquerda de $5 - 3 x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 3 \cdot (5 - 3 x^{2}) x^{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 x^{4} + (3 \cdot 5 + 3 (- 3 x^{2})) x^{2}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 x^{4} + 3 \cdot 5 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} + 3 (- 3 x^{2}) x^{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2} x^{2}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.3.1

Mova $x^{2}$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2})$

Etapa 7.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{2 + 2}$

Etapa 7.3.3.3

Some $2$ e $2$ .

$- 6 x^{4} + 15 x^{2} - 9 x^{4}$

Etapa 7.3.4

Subtraia $9 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$