Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} (3 x^{2} - 20)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 20$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 20] + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 20]) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.5

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.6

Some $6 x$ e $0$ .

$x^{3} (6 x) + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4

Mova $6$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + (3 x^{2} - 20) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x^{4} + (3 x^{2} - 20) (3 x^{2})$

Etapa 6

Mova $3$ para a esquerda de $3 x^{2} - 20$ .

$6 x^{4} + 3 \cdot (3 x^{2} - 20) x^{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{4} + (3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 20) x^{2}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Some $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 \cdot - 20 x^{2}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 60 x^{2}$

Etapa 7.3.4

Some $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$