Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local x+1/x
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Reescreva como .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 2.4
Reordene os termos.
Etapa 3
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 3.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 3.2.2
Reescreva como .
Etapa 3.2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 3.2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 3.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 3.2.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.2.6
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.6.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 3.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 3.2.7
Multiplique por .
Etapa 3.2.8
Eleve à potência de .
Etapa 3.2.9
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 3.2.10
Subtraia de .
Etapa 3.2.11
Multiplique por .
Etapa 3.2.12
Multiplique por .
Etapa 3.2.13
Some e .
Etapa 3.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.1
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 3.4.2
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.2.1
Combine e .
Etapa 3.4.2.2
Some e .
Etapa 4
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 5
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 5.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.2.1
Reescreva como .
Etapa 5.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 5.1.3
Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo .
Etapa 5.1.4
Reordene os termos.
Etapa 5.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 6
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 6.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 6.3
Encontre o MMC dos termos na equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.
Etapa 6.3.2
O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.
Etapa 6.4
Multiplique cada termo em por para eliminar as frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.1
Multiplique cada termo em por .
Etapa 6.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.4.2.1.1
Mova o negativo de maior ordem em para o numerador.
Etapa 6.4.2.1.2
Cancele o fator comum.
Etapa 6.4.2.1.3
Reescreva a expressão.
Etapa 6.5
Resolva a equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.1
Reescreva a equação como .
Etapa 6.5.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 6.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 6.5.2.2.2
Divida por .
Etapa 6.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.3.1
Divida por .
Etapa 6.5.3
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 6.5.4
Qualquer raiz de é .
Etapa 6.5.5
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.5.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 6.5.5.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 6.5.5.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 7
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 7.2
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 7.2.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 7.2.2.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 7.2.2.3
Mais ou menos é .
Etapa 8
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 10
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 10.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 10.2
Divida por .
Etapa 11
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 12
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 12.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1
Divida por .
Etapa 12.2.2
Some e .
Etapa 12.2.3
A resposta final é .
Etapa 13
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 14
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1
Eleve à potência de .
Etapa 14.2
Divida por .
Etapa 15
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 16
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 16.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.1
Divida por .
Etapa 16.2.2
Subtraia de .
Etapa 16.2.3
A resposta final é .
Etapa 17
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um máximo local
Etapa 18