Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3 - x^{3}}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{3 - x^{3}}$ como ${(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 3 - x^{3}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 7.2

Combine ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 7.3

Mova ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 12

Multiplique.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (3 x^{2})$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} x^{2}$

Etapa 14.2

Combine $\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{{(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 14.5

Reordene os termos.

$\frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$