Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\log_{9} (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \log_{9} (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{9} (x)] - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

A derivada de $\log_{9} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x \ln (9)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $x \ln (9)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (9))} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ por $\frac{\ln (9)}{\ln (9)}$ .

$\frac{\ln (9)}{\ln (9)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Combine.

$\frac{\ln (9) (\frac{x}{\ln (9)} - \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $\ln (9)$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (9) \frac{x}{\ln (9)} + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x) (2 x))}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + \ln (9) (- 2 \log_{9} (x) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Simplifique $- 2 \log_{9} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 9.1.2

Reordene os fatores em $x + \ln (9) (- \log_{9} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (9) \log_{9} (x^{2})}{\ln (9) x^{4}}$

Etapa 9.2

Reordene os termos.

$\frac{- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.3

Fatore $x$ de $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + x$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $x$ de $- x \ln (9) \log_{9} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.3.4

Fatore $x$ de $x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (9) \log_{9} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.4

Expanda $\log_{9} (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (9)}$

Etapa 9.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.5.1

Fatore $x$ de $x^{4} \ln (9)$ .

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (9))}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \ln (9) (2 \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (9) \log_{9} (x) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.7

Fatore $- 1$ de $- 2 \ln (9) \log_{9} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) + 1}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.9

Fatore $- 1$ de $- (2 \ln (9) \log_{9} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.10

Reescreva $- (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ como $- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1)}{x^{3} \ln (9)}$

Etapa 9.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \ln (9) \log_{9} (x) - 1}{x^{3} \ln (9)}$