Cálculo Exemplos

$\ln (\tanh (\frac{x}{2}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tanh (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tanh (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tanh (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tanh (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é ${sech}^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ e $\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})}$ por $1$ .

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})}$