Cálculo Exemplos

$x (27 - x) (18 - 2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (27 - x)$ e $g (x) = 18 - 2 x$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [18 - 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $18 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.2

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (27 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (27 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (27 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (27 - x) (- 2 \cdot 1) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (27 - x) \cdot - 2 + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x (27 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (27 - x)) + (18 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (27 - x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 27 - x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [27 - x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $27 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (x \cdot - 1 + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 1 \cdot x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + (27 - x) \cdot 1)$

Etapa 4.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $27 - x$ por $1$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- x + 27 - x)$

Etapa 4.8.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- 2 x (27 - x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x + 27)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + (18 - 2 x) (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (18 - 2 x) \cdot 27$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot 27 - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5

Combine os termos.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $27$ por $- 2$ .

$- 54 x - 2 x (- x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x \cdot x + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 54 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 54 x + 2 x^{1 + 1} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.6

Some $1$ e $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} + 18 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.7

Multiplique $- 2$ por $18$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x - 2 x (- 2 x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.8

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x \cdot x + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{1 + 1} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.12

Some $1$ e $1$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 18 \cdot 27 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.13

Multiplique $18$ por $27$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 2 x \cdot 27$

Etapa 5.5.14

Multiplique $27$ por $- 2$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 36 x + 4 x^{2} + 486 - 54 x$

Etapa 5.5.15

Subtraia $54 x$ de $- 36 x$ .

$- 54 x + 2 x^{2} - 90 x + 4 x^{2} + 486$

Etapa 5.5.16

Subtraia $90 x$ de $- 54 x$ .

$2 x^{2} - 144 x + 4 x^{2} + 486$

Etapa 5.5.17

Some $2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 144 x + 486$