Cálculo Exemplos

$\tan (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Combine $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}$