Cálculo Exemplos

$y = (5 - x^{2}) (x^{3} - 5 x + 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 - x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 5 x + 5$ .

$(5 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x + 5] + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 5 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(5 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.7

Some $3 x^{2} - 5$ e $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- (2 x))$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- 2 x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1

Mova $x^{2}$ .

$15 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.3.3

Some $2$ e $2$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + 5 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.6

Some $15 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.7

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.7.1

Mova $x$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.5.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.7.3

Some $1$ e $3$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{4} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 \cdot x^{4} - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.13

Some $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} + 5 (- 2 x)$

Etapa 3.5.14

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 10 x$

Etapa 3.5.15

Subtraia $2 x^{4}$ de $- 3 x^{4}$ .

$20 x^{2} - 5 x^{4} - 25 + 10 x^{2} - 10 x$

Etapa 3.5.16

Some $20 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 5 x^{4} - 25 - 10 x$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 10 x - 25$