Cálculo Exemplos

$y = (3 x - 2 x^{2}) (5 + 4 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ e $g (x) = 5 + 4 x$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 + 4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [4 x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 2 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.5

Mova $4$ para a esquerda de $3 x - 2 x^{2}$ .

$4 \cdot (3 x - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) \cdot 1 + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x - 2 x^{2}]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 2.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 2.12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 2 (2 x))$

Etapa 2.14

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 (3 x - 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) (3 - 4 x)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + (5 + 4 x) \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + (5 + 4 x) (- 4 x)$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x) + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x + 4 (- 2 x^{2}) + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 5 \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 4 x \cdot 3 + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x + 5 (- 4 x) + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x + 4 x (- 4 x)$

Etapa 3.5.6

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x \cdot x$

Etapa 3.5.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x)$

Etapa 3.5.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 (x^{1} x^{1})$

Etapa 3.5.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{1 + 1}$

Etapa 3.5.10

Some $1$ e $1$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 + 12 x - 20 x - 16 x^{2}$

Etapa 3.5.11

Subtraia $20 x$ de $12 x$ .

$12 x - 8 x^{2} + 15 - 8 x - 16 x^{2}$

Etapa 3.5.12

Subtraia $8 x$ de $12 x$ .

$4 x - 8 x^{2} + 15 - 16 x^{2}$

Etapa 3.5.13

Subtraia $16 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$4 x - 24 x^{2} + 15$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$- 24 x^{2} + 4 x + 15$