Cálculo Exemplos

$x \arctan (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Etapa 4

Para escrever $\arctan (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\arctan (x)$ por $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.2.2

Reordene os fatores em $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ .

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$