Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (1 + \sin (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cos (x)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$