Cálculo Exemplos

$y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y x^{2} + x^{2} - 3 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = x^{2}$ .

$3 y^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + y (2 x) + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 3 (2 y y')$

Etapa 2.5.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 y^{2} y' + 2 y x + x^{2} y' + 2 x - 6 y y'$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + 2 x y + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' + 2 x = - 2 x y$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + x^{2} y' - 6 y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x^{2} y' - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) - 6 y y' = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $- 6 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (x^{2})$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} + x^{2}) + y' (- 6 y)$ .

$y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ por $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y) = - 2 x y - 2 x$ por $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + x^{2} - 6 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + x^{2} - 6 y)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y - 2 x$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.2.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- y - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.3.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 x (- (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.3.4.1

Reescreva $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$y' = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 5.3.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{3 y^{2} + x^{2} - 6 y}$