Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x + 3}{2 x}$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x + 3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $2$ e $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6

Simplifique os termos.

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Etapa 5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.4

Some $0$ e $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.5

Multiplique $\frac{x + 3}{x}$ por $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.6

Mova $3$ para a esquerda de $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.7

Cancele o fator comum de $x + 3$ e ${(x + 3)}^{2}$ .

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Etapa 5.6.7.1

Fatore $x + 3$ de $3 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Etapa 5.6.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.7.2.1

Fatore $x + 3$ de $x {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Etapa 5.6.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Etapa 5.6.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x (x + 3)}$