Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (e^{9 x} + 4)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{9 x} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{9 x} + 4$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} \frac{d}{d x} [e^{9 x} + 4]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{9 x} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 9 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.3.2

Mova $9$ para a esquerda de $e^{9 x}$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 \cdot e^{9 x} + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 4.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x} + 0)$

Etapa 4.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Some $9 e^{9 x}$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{9 x} + 4} (9 e^{9 x})$

Etapa 4.5.2

Combine $9$ e $\frac{1}{e^{9 x} + 4}$ .

$\frac{9}{e^{9 x} + 4} e^{9 x}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{9}{e^{9 x} + 4}$ e $e^{9 x}$ .

$\frac{9 e^{9 x}}{e^{9 x} + 4}$