Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{6 + x}{6 - x}$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 6 - x$ e $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Reescreva $- 1 (6 + x)$ como $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.11

Combine frações.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

Etapa 5.11.2

Multiplique $\frac{6 + x}{6 - x}$ por $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $6 + x$ de $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 7.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.2

Combine os termos opostos em $- 6 - x - 6 + x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.2.2

Some $- 6$ e $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.3.3

Subtraia $6$ de $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$