Cálculo Exemplos

$y = {(x^{5} \ln (x))}^{6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{5} \ln (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $x^{5} \ln (x)$ .

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{5}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$6 (x^{25} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.2

Multiplique $x^{25}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1

Mova $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{25}) \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.2.3

Some $4$ e $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{5}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{25} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Etapa 5.3.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{25} \ln^{5} (x) (\ln (x) (x^{4}))$

Etapa 5.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Etapa 5.3.6

Some $4$ e $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Etapa 5.3.7

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{5} (x))$

Etapa 5.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 5}$

Etapa 5.3.9

Some $1$ e $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{6} (x)$