Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + 3 e^{x}}{2 e^{x} - x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 3 e^{x}$ e $g (x) = 2 e^{x} - x$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 e^{x}] - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x]}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{x} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) - (x^{2} + 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Expanda $(2 e^{x} - x) (2 x + 3 e^{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x} (2 x + 3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x + 3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x} (2 x) + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 2 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 e^{x} (3 e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x} e^{x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.4

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.2.1.4.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 (e^{x} e^{x}) - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{x + x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.4.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 2 \cdot 3 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - x (2 x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x \cdot x - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.2.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 1 \cdot 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x (3 e^{x}) + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.1.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 e^{x} x + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 3 x e^{x} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2

Subtraia $3 x e^{x}$ de $4 e^{x} x$ .

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Etapa 7.2.1.2.2.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 3 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2.2

Subtraia $3 x e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$\frac{1 x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - (3 e^{x})) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} + (- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Expanda $(- x^{2} - 3 e^{x}) (2 e^{x} - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x} - 1) - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x} - 1)}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - x^{2} (2 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} - x^{2} \cdot - 1 - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.3

Multiplique $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.2.1.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 1 x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 e^{x} (2 e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.6.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{x + x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 3 \cdot 2 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.6

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} - 3 e^{x} \cdot - 1}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6.7

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Combine os termos opostos em $x e^{x} + 6 e^{2 x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $6 e^{2 x}$ de $6 e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 0 + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x e^{x} - 2 x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + x^{2} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.2.3

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x e^{x} - x^{2} - 2 x^{2} e^{x} + 3 e^{x}}{{(2 e^{x} - x)}^{2}}$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + e^{x} x - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $e^{x} x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- e^{x} x)$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - 2 e^{x} x^{2} + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - e^{x} x) - (2 e^{x} x^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) + 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.9

Fatore $- 1$ de $3 e^{x}$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2}) - (- 3 e^{x})$ .

$\frac{- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.11

Reescreva $- (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ como $- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x})}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.13

Reordene os fatores em $- \frac{x^{2} - e^{x} x + 2 e^{x} x^{2} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - x e^{x} + 2 x^{2} e^{x} - 3 e^{x}}{{(- x + 2 e^{x})}^{2}}$