Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x^{6} - 1$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x^{6} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{6} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{6}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $30 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $30$ por $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{5}$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $5$ e $2$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x^{6}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{6}$ .

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Etapa 4.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.1.3

Some $1$ e $6$ .

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $30 x^{7}$ de $10 x^{7}$ .

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $2 x$ de $- 20 x^{7} - 2 x$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2 x$ de $- 20 x^{7}$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- 10 x^{6}$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $- (10 x^{6} + 1)$ como $- 1 (10 x^{6} + 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.10

Reordene os fatores em $- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$