Cálculo Exemplos

$y = \frac{7^{x}}{\log_{7} (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = \log_{7} (x)$ .

$\frac{\log_{7} (x) \frac{d}{d x} [7^{x}] - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)]}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\log_{7} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - 7^{x} \frac{1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{x \ln (7)}$ e $7^{x}$ .

$\frac{\log_{7} (x) (7^{x} \ln (7)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $\ln (7) \log_{7} (x) \cdot 7^{x} - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Fatore $7^{x}$ de $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $7^{x}$ de $7^{x} \ln (7) \log_{7} (x)$ .

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) - \frac{7^{x}}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $7^{x}$ de $- \frac{7^{x}}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $7^{x}$ de $7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x)) + 7^{x} (- \frac{1}{x \ln (7)})$ .

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $\ln (7) \log_{7} (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} (\ln (7) \log_{7} (x) \cdot \frac{x \ln (7)}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.3

Combine $\ln (7) \log_{7} (x)$ e $\frac{x \ln (7)}{x \ln (7)}$ .

$\frac{7^{x} (\frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))}{x \ln (7)} - \frac{1}{x \ln (7)})}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7^{x} \frac{\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $\ln (7) \log_{7} (x) (x \ln (7))$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.5.1.2

Eleve $\ln (7)$ à potência de $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7))) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x {\ln (7)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7^{x} \frac{\log_{7} (x) (x \ln^{2} (7)) - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{7^{x} \frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.3

Combine $7^{x}$ e $\frac{\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)}}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7)} \cdot \frac{1}{{\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.5

Combine.

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.6

Multiplique $7^{x}$ por $1$ .

$\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$

Etapa 5.7

Reordene os fatores em $\frac{7^{x} (\ln^{2} (7) \log_{7} (x) x - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$ .

$\frac{7^{x} (x \ln^{2} (7) \log_{7} (x) - 1)}{x \ln (7) {\log_{7}}^{2} (x)}$