Cálculo Exemplos

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $24 x^{2} + 8$ como $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $8$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

Etapa 1.1.2

Fatore $8$ de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

Etapa 1.1.3

Fatore $8$ de $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

Etapa 1.1.4

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ como ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 8.3

Mova ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Some $6 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

Etapa 14.2

Combine $6$ e $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Etapa 14.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Etapa 14.4

Combine $\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 14.5

Fatore $3$ de $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Fatore $3$ de $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$