Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{1 - x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $1 - x$ por $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 2.9.3.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$