Cálculo Exemplos

$y = x^{2} e^{- \frac{1}{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{1}{x}$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.5.2

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{- 2 + 2} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.3

Some $- 2$ e $2$ .

$x^{0} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Simplifique $x^{0} e^{- \frac{1}{x}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} (2 x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reordene os termos.

$2 e^{- \frac{1}{x}} x + e^{- \frac{1}{x}}$

Etapa 8.2

Reordene os fatores em $2 e^{- \frac{1}{x}} x + e^{- \frac{1}{x}}$ .

$2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$