Cálculo Exemplos

$y = x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} \ln (x) - \frac{1}{3} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.4

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 2.5.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Etapa 3.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) + \frac{- x^{2}}{1}$

Etapa 3.6.2.4

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}) - x^{2}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{3} \ln (x)$