Cálculo Exemplos

$y = x^{\ln (4 x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{\ln (4 x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{\ln (4 x)})$ movendo $\ln (4 x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (4 x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Etapa 4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Etapa 5

Combine $\ln (4 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 6.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4 x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 7.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 7.3

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.1

Combine $4$ e $\frac{\ln (x)}{4 x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.3.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\ln (x)}{x}$ por $1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Combine $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ e $\frac{\ln (4 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 8.2.2

Combine $e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ e $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$