Cálculo Exemplos

$y = \frac{x + 5}{x^{3} + x - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x^{3} + x - 4$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} + x - 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{3} + x - 4$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + 0)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 1 \cdot 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(- x - 5) (3 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2} + 1) - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.5

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.6

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} + 0 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $x^{3} - 4 - 3 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- 15 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{3}) - (15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3}) - (15 x^{2})$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ como $- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$