Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 2 \cos (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 x \sin (x)$ de $\sin (x) (2 x)$ .

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Etapa 5.2.2.1

Mova $\sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $2 x \sin (x)$ de $2 x \sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + 0 + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 5.2.3

Some $x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$x^{2} \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x)$

Etapa 5.2.4

Subtraia $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$x^{2} \cos (x) + 0$

Etapa 5.2.5

Some $x^{2} \cos (x)$ e $0$ .

$x^{2} \cos (x)$