Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + 2 e^{3 x}}$ como ${(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 2 e^{3 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 7.2.2

Mova ${(1 + 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 e^{3 x}]$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Etapa 7.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}])$

Etapa 7.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$

Etapa 7.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Etapa 7.7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 7.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 7.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Combine $e^{3 x}$ e $\frac{1}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 9.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.3

Combine $3$ e $\frac{e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.5.1

Multiplique $\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3 e^{3 x}}{{(1 + 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.5.2

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{3 x}}{{(2 e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$